Quantitatives Verhältnis und Übergang zum Maß
Die Quantität vollendet sich im Verhältnis — hier steht ein Quantum nicht mehr isoliert, sondern in Beziehung zu einem anderen. Die drei Formen des Verhältnisses stehen nicht nebeneinander; sie steigern sich.
Direktes Verhältnis (y = kx — die Proportionalität, Grundlage des Messens): Der Exponent k ist ein festes Drittes, das von außen hinzukommt. Die beiden Größen wissen nichts voneinander; sie werden verglichen.
Umgekehrtes Verhältnis (pV = const — Boyles Gasgesetz): Jetzt ist der Bezug enger. Wächst das eine, schrumpft das andere — nicht weil jemand es so festsetzt, sondern weil eine Gesamtgröße konstant bleibt. Die Größen sind aneinander gebunden, aber die Bindung liegt noch in einem Dritten, dem Produkt.
Potenzverhältnis (s = ½gt² — das Fallgesetz): Hier bezieht sich die Quantität auf sich selbst. Potenzieren heißt: die Operation auf ihr eigenes Ergebnis anwenden. Kein äußeres Drittes bestimmt mehr das Verhältnis, sondern die Größe bestimmt sich durch ihre eigene Wiederholung.
Deshalb ist die Potenz die letzte Quantitätskategorie und der Umschlagpunkt. Wo die Quantität sich selbst bestimmt, ist sie nicht mehr gleichgültig gegen das, was sie bestimmt: Das Quadrat einer Länge ist eine Fläche, ihr Kubus ein Volumen — die Quantität hat eine Qualität hervorgebracht. Damit schlägt Quantität in Qualität um, und wir stehen vor dem Maß.
Illustration: Die Fibonacci-Folge (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…) wird durch reine Addition erzeugt — jede Zahl ist die Summe der beiden vorherigen, kein einziges Mal wird multipliziert. Bildet man aber die Verhältnisse aufeinanderfolgender Glieder, so nähern sie sich einem festen Wert: φ ≈ 1,618, dem Goldenen Schnitt. Und dieser Wert ist durch eine multiplikative Gleichung bestimmt: φ² = φ + 1. Sein Quadrat ist identisch mit ihm selbst plus eins.
Damit ist der Umschlag greifbar. Eine rein additive Vorschrift erzeugt einen Grenzwert, dessen Bestimmung multiplikativ ist — die Quantität hat, indem sie sich auf sich selbst bezog, etwas hervorgebracht, das in der Vorschrift nicht stand. Ausgeführt wird das in [[geburt-der-multiplikation]] (optional), das dieselbe Bewegung vom Zählen bis zu den Primzahlen verfolgt.